逻辑回归 | Logistic Regression
1、从线性回归到逻辑回归
我们知道，线性回归的模型是求出输出特征向量 Y 和输入样本矩阵 X 之间的线性关系系数θ，满足Y=Xθ。此时我们的 Y 是连续的，所以是回归模型。如果我们想要 Y 是离散的话，怎么办呢？一个可以想到的办法是，我们对于这个 Y 再做一次函数转换，变为g(Y)。如果我们令g(Y)的值在某个实数区间的时候是类别 A，在另一个实数区间的时候是类别 B，以此类推，就得到了一个分类模型。如果结果的类别只有两种，那么就是一个二元分类模型了。逻辑回归的出发点就是从这来的。下面我们开始引入二元逻辑回归。
2、二元逻辑回归模型
我们提到对线性回归的结果做一个在函数 g 上的转换，可以变化为逻辑回归。这个函数 g 在逻辑回归中我们一般取为 sigmoid 函数，形式如下：
它有一个非常好的性质，即当 z 趋于正无穷时，g(z)趋于 1，而当 z 趋于负无穷时，g(z)趋于 0，这非常适合于我们的分类概率模型。另外，它还有一个很好的导数性质：
如果我们令g(z)中的z为：z=xθ，这样就得到了二元逻辑回归模型的一般形式：
其中x为样本输入，为模型输出，可以理解为某一分类的概率大小。而θ为分类模型的要求出的模型参数。对于模型输出，我们让它和我们的二元样本输出y（假设为0和1）有这样的对应关系，如果 ，即, 则y为1。如果，即, 则y为0。是临界情况，此时， 从逻辑回归模型本身无法确定分类。
的值越小，而分类为0的的概率越高，反之，值越大的话分类为1的的概率越高。如果靠近临界点，则分类准确率会下降。
此处我们也可以将模型写成矩阵模式：
其中为模型输出，为 mx1的维度。X为样本特征矩阵，为mxn的维度。θ为分类的模型系数，为nx1的向量。
3、二元逻辑回归的损失函数
回顾下线性回归的损失函数，由于线性回归是连续的，所以可以使用模型误差的的平方和来定义损失函数。但是逻辑回归不是连续的，自然线性回归损失函数定义的经验就用不上了。不过我们可以用最大似然法来推导出我们的损失函数。
我们知道，按照第二节二元逻辑回归的定义，假设我们的样本输出是 0 或者 1 两类。那么我们有：
两个式子合并得：
其中 y 的取值只能是 0 或者 1。
得到了 y 的概率分布函数表达式，我们就可以用似然函数最大化（最大似然估计）来求解我们需要的模型系数θ。为了方便求解，这里我们用对数似然函数最大化，对数似然函数取反即为我们的损失函数J(θ)
一个样本的似然函数表达式：
m个样本的似然函数表达式：
似然函数对数化，然后取反，即得损失函数：
4、损失函数的优化(梯度下降)
对于二元逻辑回归的损失函数极小化，有比较多的方法，最常见的有梯度下降法，坐标轴下降法，等牛顿法等。本文使用梯度下降法进行优化
损失函数 对 求导:
推导的过程：
求得损失函数的导数之后对 进行梯度更新：
其中 为梯度下降法的步长
5、二元逻辑回归的正则化
逻辑回归也会面临过拟合问题，所以我们也要考虑正则化。常见的有 L1 正则化和 L2 正则化。逻辑回归的 L1 正则化的损失函数表达式如下，相比普通的逻辑回归损失函数，增加了 L1 的范数做作为惩罚，超参数α作为惩罚系数，调节惩罚项的大小。
二元逻辑回归的 L1 正则化损失函数表达式如下：
其中 为θ的 L1 范数。逻辑回归的 L1 正则化损失函数的优化方法常用的有坐标轴下降法和最小角回归法。
二元逻辑回归的 L2 正则化损失函数表达式如下：
为θ的 L2 范数。逻辑回归的 L2 正则化损失函数的优化方法和普通的逻辑回归类似。
6、多元逻辑回归
多元逻辑回归是使用softmax函数来实现多分类的：
softmax函数的计算原理 :
1: 总是认为某种类型为正值，其余为0值，这种方法为最常用的one-vs-rest，简称OvR.
2: 选择一部分类别的样本和另一部分类别的样本来做逻辑回归二分类, 这种方法是Many-vs-Many(MvM)
3: 每次我们选择两类样本来做二元逻辑回归, 这种是One-Vs-One（OvO）。OvO是MvM的特例。
现有n个特征的1个样本, 总的有k个类别:
将得出的k个 值代入softmax函数中转化成总和为1的概率, 选择概率最高的那个分类作为该样本的分类
7、小结
优点
- 容易实现和理解，可解释想很好
- 内存资源占用小，模型训练速度快
- 以概率的形式输出，便利的观测样本概率分数
缺点
- 当特征空间很大时，逻辑回归的性能不是很好；
- 容易欠拟合，一般准确度不太高