ARIMA及其衍生模型

一、相关模型

二、数据平稳

2.1、判断数据是否平稳

# adfuller函数参数
x：          array_like，1d，要测试的数据系列。
maxlag：     测试中包含的最大延迟，默认为12 *（nobs / 100）^ {1/4}。
regression： {‘c’，‘ct’，‘ctt’，‘nc’}， 包含在回归中的常量和趋势顺序。‘c’：仅限常量（默认值）。 ‘ct’：恒定和趋势。 ‘ctt’：常数，线性和二次趋势。 ‘nc’：没有恒定，没有趋势。
autolag：    {‘AIC’，‘BIC’，‘t-stat’，None}自动确定滞后时使用的方法。如果为None，则使用maxlag滞后。如果是’AIC’（默认值）或’BIC’，则选择滞后数以最小化相应的信息标准。基于’t-stat’的maxlag选择。从maxlag开始并使用5％大小的测试来降低延迟，直到最后一个滞后长度的t统计量显着为止。
store：      bool，如果为True，则另外返回adf统计信息的结果实例。默认值为False。
regresults： bool，optional，如果为True，则返回完整的回归结果。默认值为False。

# adfuller函数返回值
ADF：float，                测试统计。
pvalue：float，             probability value：MacKinnon基于MacKinnon的近似p值（1994年，2010年）。
usedlag：int，              使用的滞后数量。
NOBS：int，                 用于ADF回归和计算临界值的观察数。
critical values：dict，     测试统计数据的临界值为1％，5％和10％。基于MacKinnon（2010）。
icbest：float，             如果autolag不是None，则最大化信息标准。
resstore：ResultStore, optional，     一个虚拟类，其结果作为属性附加。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller 
timeseries = data # 被检验数据
adftest = adfuller(timeseries,autolag = 'AIC')  # ADF检验

# 返回值实例
(-1.6596695973336932, 0.9169218489129718, 0, 230, {'1%': -4.422218041176954, '5%': -3.8583127840881075, '10%': -3.569276584942878}, 1640.0264270221523)可以看到，依次为ADF, p-value, usedlag, nobs, critical-value, AIC这几个参数。

(-1.6596695973336932, 0.9169218489129718, 0, 230, {'1%': -4.422218041176954, '5%': -3.8583127840881075, '10%': -3.569276584942878}, 1640.0264270221523)
# -1.66比返回值的critical-value中的三个值都要大，说明数据不平稳

2.2、使用差分平稳数据

# 对数据差分
diff1 = timeseries.diff(1).dropna()  # 1阶差分
# 再进行平稳性判断
adftest_diff1 = adfuller(diff1,autolag = 'AIC')

## 若1阶差分不能使数据平稳，则继续2阶差分，以此类推（也可以在一阶差分的基础上再进行一阶差分）
diff2 = timeseries.diff(2).dropna()  # 1阶差分
# 再进行平稳性判断
adftest_diff2 = adfuller(diff2,autolag = 'AIC')

2.3、案例实现

# 数据平稳性检测 因为只有平稳数据才能做时间序列分析
import statsmodels.tsa.stattools as ts
def judge_stationarity(data_sanya_one):
    dftest = ts.adfuller(data_sanya_one)
    stationarity = 1
    for key, value in dftest[4].items():
        if dftest[0] > value:
                stationarity = 0
    print("是否平稳(1/0): %d" %(stationarity))
    return stationarity

stationarity = judge_stationarity(all_data_list)

三、SARIMAX模型

3.1、模型参数

from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

statsmodels.tsa.statespace.sarimax.SARIMAX(endog, exog=None, order=(1, 0, 0), seasonal_order=(0, 0, 0, 0), trend=None)
# 以上只列出了主要参数，
# endog：训练数据
# exog：外部变量
# order：自回归，差分，滑动平均项 (p,d,q)
# seasonal_order：季节因素的自回归，差分，移动平均，周期 (P,D,Q,s)
# trend：趋势，c表示常数，t:线性，ct:常数+线性

3.2、模型评估方法

3.3、模型参数确定

3.3.1、参数order(p、d、q)

ACF和PACF图的含义和特性

含义

Autocorrelation Function (ACF)自相关函数，指任意时间 t（t=1,2,3…n)的 序列值Xt 与其自身的滞后（这里取滞后一阶，即lag=1）值Xt-1之间的线性关系；ACF图就是指以滞后值（上图就是滞后值为 1阶）为x轴，自相关系数（Xt与Xt-1的相关系数值）为y轴画出的图，也叫做相关图。PACF图就是部分相关图。

特性

截尾：在大于某个常数k后快速趋于0为k阶截尾

拖尾：始终有非零取值，不会在k大于某个常数后就恒等于零(或在0附近随机波动)

ㅤ	AR ( p)	MA(q)	ARMA(p,q)
ACF	拖尾	q阶后截断	拖尾q
PACF	p阶后截断	拖尾	拖尾p

ACF和PACF图案例分析

ACF拖尾，PACF截尾

第一个图为ACF，第二个图为PACF。

可以看到ACF是一个逐渐趋于0的拖尾，而PACF在7阶过后系数为0，所以模型是AR(7)或AR(8)，即ARMA(7,0）或ARMA（8,0)。备选模型ARMA(7,1）。

ACF和PACF都拖尾

ACF和PACF都呈现拖尾，在1阶位置就开始基本落在2倍标准差范围，所以是ARMA(1,1)模型。

找到合适数值的多组参数之后，可以通过模型的AIC（赤池信息量），BIC（贝叶斯信息量），HQIC等值确定哪一组最好，AIC，BIC数值越小，参数越合适。

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA 
 
pmax = int(5)    #一般阶数不超过 length /10
qmax = int(5)
bic_matrix = []
for p in range(pmax +1):
    temp= []
    for q in range(qmax+1):
        try:
            temp.append(ARIMA(all_data_list, (p, 0, q)).fit().bic)
        except:
            temp.append(None)
        bic_matrix.append(temp)

bic_matrix1 = pd.DataFrame(bic_matrix)   # 将其转换成Dataframe 数据结构
p,q = bic_matrix1.stack().idxmin()       # 先使用stack 展平， 然后使用 idxmin 找出最小值的位置
print(u'BIC 最小的p值 和 q 值：%s,%s' %(p,q))  #  BIC 最小的p值 和 q 值：6,1

函数实现

3.3.2、参数seasonal_order(P,D,Q,s) 和参数 trend

3.4、模型验证

四、推荐阅读